Tatbikî Riyaziye

Üçücü stajıma iki arkadaşla beraber gitmiştim. Bir iki dakikalık rotarla derse girdik ve yoklamadan sonra hocanın birşeyler anlatmasına yetiştik. Öğrenciler yeni sınav olmuşlar. Öğretmen sınav sorularını cevaplayıp bazılarını çözmek istiyordu. Öğrencilerin talepleriyle bazı soruları çözdü. Bu soruların hepsini anlattığını söylüyor ve öğrencilere nasıl yapamadıklarını soruyordu. Öğrenciler derse katılıyor, ders içinde sorulan sorulara cevap veriyorlar ama sınavda çok farklı konulara biden muhatap olunca çok basit hatalar yapıyorlar. "Sınavda mantığıma bu çözüm uygun geldiydi" veya "yanlış anlamışım soruyu" tartışması yok, "böyle yapmıyor muyduk bu tür soruları" tartışması var.

Öğenciler gerçekten bu konuları ve bu konularla alakalı problemleri çözmek için gereken prosedürleri görmüş ama hâlâ problem biraz değişince veya "problem şu konuya ait" demeyince yapamıyor. Mantık yürütemiyor. Problemi çözmek için birşeyler yapıyor ama niye yaptığını bilmiyor. Öğretmenleri bir defasında bize öğrencilerinin hiç kafa yormadığını bunun tamamen öğrencilerin kabahati olduğu edasıyla söylemişti. Peki öğretmen masum mu?

Dersin ilk saati bu sınav sorularının çözümü ve taban aritmetiğinde dört işlem konusunun işlenmesiyle geçti. İkinci saatte modüler aritmetik konusuna geçildi. Öğretmen modüler aritmetiğin bazı özelliklerini anlatıp yazdırdıktan sonra problemler çözmeye başladı. Konunun arkaplanından hiç bahsetmedi.

Denklik sınıflarını hiç işin içine karıştırmadı konuya giriş yaparken. Sayıları yedinin denklik sınıflarına göre sınıflandırtıp aynı sınıfa (kümeye) düşen sayılara bizim denk dediğimizi açıklamadı. Peki öğrenciler ne yapsın şimdi? Prosedürleri hiçbir mantığa oturtmadan ezberleyip bambaşka bir konu içinde öğrendiklerini uygulayamayarak şaşırıp kalmaktan başka ne yapabilirler ki? Öğretmen de konuyu yetiştirmeye çalışırken işin matığıyla mı uğraşsın?

Öğrencinin biri dayanamayıp konunun ortasında "hocam bu konu ne işimize yarayacak?" dedi. Çünkü konunun çok alakasız durduğunu görüyordu. Sınıfta bir uğultu oluştu. Ön sıralarda bir öğrencinin birşeyler sıraladığını duydum ama gürültünün arasından sızıp bana ulaşan tek kelime "pratik zekaydı". Galiba "analitik zeka" demek istemişti. Matematik ne işe yarayacak sorularına verilen cevapları listeliyor olmalıydı. Lise öğrencisiyken bana da böyle öğretmişlerdi.

Sonra hoca bize döndü. "Boğaziçili abilerinize sorun bakalım nerde işe yarıyormuş." dedi. Hiç beklemiyordum birşeyler söylememin bekleneceğini. Ne diyebilirdim ki? Cevap vermedim. Diğer iki arkadaş da öyle. "Grup teorisinde önemli bir rol oynuyor modüler aritmetik." diyemedik. Grup teorisi ne işe yarayacaktı çünkü.

Birkaç hafta önce bir derste ödev olarak verilen bir makaleyi okumuştum. Başında benim hislerime tercüman olan açıklamalar vardı. Bunlardan bir tanesi uygulamalı bilim ile teorik bilim kavramlarıydı. Teorik bilimciler, "bilim için bilim" anlayışını savunuyorlarmış. Sadece bilmek için bilmek. Bir işe yaraması gerekmiyor. Bir yerlerde kulanım alanı bulabiliyor olması da bu anlayışı değiştirmiyor. Sadece bilimde değil matematikte de durum böyle. Uygulamalı matematiğin yanında teorik matematik var. Bulunan kalıpların (pattern) bir yerlerde işe yaraması gerekmiyor ama kullanım sahası bulunabilir.

Üç gün önce grup teorisinin devamı niteliğinde olan matematik dersimde hoca anlatacağı konuyu anlattıktan sonra "Bu konu üzerinde araştırma yapılıp endüstride kullanılabilecek şeyler geliştirilebilir. Dünyada böyle bir çalışma olup olmadığını bilmiyorum ama endüstride uygulanabilecek birşeyler bulusanız çok para kazanabilrsiniz." demişti. Birkaç gün önce bazı matematikçilerin çeşitli ebatlardaki daireleri büyük bir daireye en az boş alan kalacak şekilde nasıl yerleştirilebileceği hakkında algoritma geliştirildiğine dair bir haber görmüştüm. Zamanında ıvır zıvırın suyunu çıkaran bir ders olarak gördüğüm ayrık matematik (ne demekse) dersinde biz de buna benzer teorem ve algoritmaları görmüştük. Demek ki matematik konuları için bir yerlerde uygulama alanı bulunabiliyor.

Peki biz hep uygulama alanı mı aramalıyız? Yoksa sadece uygulama alanı bulabilen matematiği mi öğretmeliyiz? Bu tartışılması gereken ayrı bir konu. Daha sonra bunun hakkında birşeyler yazmayı düşünüyorum. Şu an için yapılması gerektiğini söylemek istediğim şey, öğrencilere somut problemler sunarak ve o problemler üzerinde düşündürterek öğrencilerin işlenen konunun arkaplanı hakkında fikir sahibi olmalarını sağlamak ve problem çözerken mantıklı düşünmelerine yardımcı olmak. Tam olarak nerelerde uygulanabileceğini bile öğretmeden, unutulması ve karıştırılması muhtemel, bir sürü prosedür ezberletip zihinleri bulandırmak yerine öğrencilerin çözüm yöntemlerini kendilerinin bulmaları, kalıpları (pattern) kendilerinin farketmeleri, verilen sayı ve kuralları manipüle edip sonuçlarını aynı anda görebilmeleri sağlanmalı. Ezberlemeleri gereken şeyler iyi belirlenmeli.

"Lisede anlatılan her konu için bir uygulama alanı bulup öğrencilerin konuları daha iyi anlayabilecekleri ve ders süresinde aktif olabilecekleri aktiviteler ve oyunlar geliştirilemez mi?" diye zaman zaman birilerine soruyordum. Fikir üretmek ilk başta zor gibi göründü ama gerçekten kolaymış. Mesela integral konusu için öğrencilere integralle ayakkabılarının taban alanı hesaplattırılıp sınıfın ayak büyüklüğünün istatistiği çıkarılabilir. Bu tür aktivitelerin detayları zor gibi görünüyor şimdi de. Ancak bir kere bir kişi tarafından üretilip senelerce birçok kişi tarafından kullanılıp geliştirilebilir. Ucundan başlansa ve ve her konu için bir hikaye bulunsa ve bir veritabanı oluşturulsa ne iyi olur. Her konu başında bir saat böyle aktivite yapılıp, geri kalan saatlerde konunun cebirsel özellikleri işlense koular daha iyi anlaşılır.

Örnek Uygulama:

Modüler aritmetik için aklıma şöyle bir uygulama geldi.

Sınıftaki masalar üç sıra halinde olduğu için üçün kalan sınıfları ve onlar üzerindeki işlemler hakkında bir uygulamadır. Sınıfın 30 kişilik olduğunu varsayalım. 30'a kadar olan sayıları birer kağıda yazalım. Her kağıtta bir numara var. Birinci sıradan bir masaya 1 yazılı kağıdı, ikinci sıradan bir masaya 2, üçüncü sıradan bir masaya 3,... verelim.

Öğretmen birinci sıradan ve ikinci sıradan birer öğrenci seçer ve numaralarını sorar. Bu iki numaranın toplamı üçüncü sıradaki bir masada çıkar. Birinci sıradan başka bir masa seçer. Durum yine aynı. Öğrencilerin merakını çeker sanıyorum. Bu uygulamayı geliştirip ilk sıradan iki masa seçip numaraları üzerinde işlem yaptırabilir.

Birinci sıradaki masaların numaralarının ortak özelliği sorulur. Tahtanın sol tarafına yukarıdan aşağıya doğru yazılır. Öğrenciler bunların üç ile bölümünden bir kalanını veren sayılar olduğunu farkeder. Aynı şeyi ikinci ve üçüncü sıra için de yapar. Bir sayıdaki sıralar üçer üçer artıyorsa aynı zamanda üçer üçer azalmalı deyip negatif sayılara da giriş yapılır. Tahtanın sol tarafındaki üç ile bölümünden bir kalanını veren sayıların başına -2, -5, gibi sayılar da eklenir. Bu üç kümeden seçilen iki sayının toplamının yine bunlardan birine ait olduğu da farkettirilir.

Artık elimizde negatif sayılar da varsa çıkarma işlemi de tanımlanabilir. -5 ile 5 sayılarının aynı sırada olmadığı farkettirilir. Bu sayı sıralarına denklik sınıfı adı verilir: 1'in denklik sınıfı, 2'nin denklik sınıfı, 0'ın denklik sınıfı. "Madem ki toplama işlemine sokulan sayılar kendi denklik sınıflarından bir sayı ile değiştirildiğinde sonuç yine aynı denklik sınıfında çıkıyor, o halde biz toplama yaparken denklik sınıflarının en küçük sayılarını kullanabiliriz." denilebilir. Hemen kafa karışıklığını önlemek için normal toplama işleminin sayıları topladığı ve sayı verdiği anlatılır. Bu yeni toplama işleminin iki kümeden seçilen sayının normal toplamının hangi kümede çıkacağını söyleyen bir işlem olduğu açıklanır. Bu uygulama daha da geliştirilebilir.

Bir saatlik bi derste böyle bir uygulama yapılsa geriye kalan saatte öğretmen kalan konuları çok daha kolay anlatabilir. Öğrenciler de öğretmen de gün boyu yazmanın verdiği sıkıntıdan kutulabilir ve dersler daha verimli geçebilir. Denemek lazım. Ya ne işimize yarayacak bunlar diye yine sorarlarsa...