18 Nisan 2010 Pazar

Gaye-i Maarif-i Fen-u Riyaziye 3

Fen ve matematik eğitimi için bir dereceye kadar ikna edici sebepler bulmuştum. Fen ve matematiğin daha çok pratik faydaları için gerekli olduğunu düşünüyordum. Bir de kâinat kitabını okuma vechesi vardı. Yoksa işin bu vechesi mi daha önemliydi? İslâm medeniyetinin parlak devirlerinde müslüman bilim adamlarının bilime yaptıkları katkılar yakın bir zamanda karşıma bir kez daha çıkmıştı. Hayret verici gayretlerini ve bilime katkılarını gördüm. Pratik faydası olmayan buluşların faydasız ilim kapsamına girip girmeyeceği aklımı kurcalıyordu. Müslüman bilim adamlarının ne ölçüde ve niçin fen ve matematikle uğraştığını incelemek ve bu meseleyi netleştirmek istiyordum.

Geçenlerde elime "İslâm Medeniyetinde Bilgi ve Bilim" isimli bir kitap geçmişti. İçinde anlamayı zorlaştırmak için seçildiğini düşündürten çok fazla terim vardı. Ama yazar o kadar emek vermiş de ne yazmış, bu kadar tanımı getirmiş de ne diyecek diye merak da ediyordum. Okumaya başladım.

İlk olarak "dünyagörüşü" terimi ortaya çıkıyor. Yazar şu şekilde tanımlıyor: "Dünyagörüşü, bütün insan faaliyetlerinin zihinsel zeminidir". Kısa ve öz. Kitabın yarısından fazlasının bu terim üzerine inşa edileceğini hiç ummuyordum. Meğer önemli bir kavrammış. Zihniyet kelimesini kullansa anlatım daha açık olurdu ama bu da iyi.

İkinci olarak "bilimsel süreç" terimi ortaya çıkıyor. "Bilimsel süreç, medeniyetleşmiş toplumlarda görülen ve sonuçta bilimlerin doğmasına yol açan bir bilgi edinme olgusudur" diye tanım getirmiş yazar. Bu bilimsel süreç terimi benim daha önceden öğrendiğim bilimsel süreç teriminden farklı bir kavrama karşılık geliyor. Bilimsel bilginin elde edilmesinde takip edilen yola bilimsel süreç dendiğini öğrenmiştim. Yazar ona da "bilimsel faaliyet" demiş.

Yazara göre insanlık tarihinde bilimsel sürecin etkin olduğu sadece üç medeniyet vardır. Bunlar Eski Yunan medeniyeti, İslâm medeniyeti ve Batı medeniyetidir. Bu medeniyetlerdeki bilimsel süreç incelenirse, bu sürecin dört aşamadan oluştuğu görülür.
  1. Bilgiye yönlendirici bir dünyagörüşünün oluşumu.
  2. Bu dünyagörüşü ekseninde bilgi edinme faaliyetlerine girişilmesi ve bu sayede bir bilgi geleneğinin meydana getirilmesi.
  3. Toplumda oluşan bilgi birikiminin bir yönteme bağlı olarak düzene sokulması.
  4. Düzenlenen bilgi kümelerinin adlandırılması.
Yazar bunları teker teker inceliyor. Benim için şu an önemli olan dünyagörüşü aşaması. Nasıl bir dünyagörüşü bilimde ilerlemeyi böylesine teşvik etti?

Bu asırda yazılmış bir eser olan Yirmi Dokuzuncu Lem'a'nın önsözünde şöyle yazıyor:
"On üç seneden beri kalbim, aklımla imtizaç edip Kur'ân-ı Mucizü'l-Beyan'ın 'ki, düşünesiniz', 'belki düşünüp ibret alırlar', 'Onlar kendi üzerlerindeki İlâhî sanat mucizelerini hiç düşünmezler mi?', 'Düşünen bir topluluk için bunda deliller vardır' meâlindeki ayetlerle emrettiği tefekkür mesleğine teşvik ettiği ve 'Bir saat tefekkür bir sene nafile ibadetten daha hayırlıdır' hadis-i şerifi, bazen bir saat tefekkür bir sene ibadet hükmünde olduğunu beyan edip tefekküre azim teşvikat yaptığı cihetle… Bu ahirde gördüm ki, Risâle-i Nur'un eczalarındaki kuvvetli ukde-i hayatiye ve parlak nurlar, o silsile-i tefekküratın Lem'alarıdır."
Daha önceki yüzyıllarda yaşayan müslüman bilim adamları bu sebeplerden dolayı mı bilimle uğraşmışlardı? Geçen hafta tatil vesilesiyle memlekete gittim. Memleketteki kitaplığıma ders ve ödev tasası olmadan gözatma fırsatım oldu. Erzurumlu İbrahim Hakkı'nın Marifetname (1756) kitabına da zamanında nasıl bir bilimle niçin uğraşmışlar diye bakayım dedim. Kitabın yazılış gayesi şöyle özetlenmiş:
Cenâb-ı Hakk, dünya ve âhireti insan için, insanı ise Kendi'ni bilsin diye yaratmıştır. Kâinatın ve insanın yaratılmasından maksat, Allah'ı bilmektir ve bu her şeyden mühimdir. Ama bu biliş, insanın kendi nefsini bilmesine bağlıdır. Bu ise insanın bedeninin bilinmesini gerektirir, o da bütün kâinatın bilinmesi ile mümkündür. İşte bu sebeple biz de, astronomi, fizik, anatomi ile tasavvuf ilimlerinden bilgiler devşirip topladık ve Türkçeye tercüme ederek bu kitabı yazdık...
Kitabın "İkinci Fen" kısmının başında anatomi için deniliyor ki:
Demek ki, teşrih (anatomi) ilmi aziz ve leziz bir ilimdir. Hakikate ermiş âlimlerin hikmetlerinin neticesi, mütehassıs doktorların sermayesi, yakin sahiblerinin nefislerinin nimeti, Dünya ve dinin vesilesi, Allahû Teâlâ'yı tanıma vasıtasıdır. Çünkü teşrih ilmini bilmeyen, tıb ve hikmetten ve kendini bilmekten gafil ve Hakk'ı tanımaya kavuşmaktan uzaktır. Halbuki insanların çoğu onu bilmekte aldanmıştır. Tahsil eden olursa da, tıbta ihtisas yapmak için tahsil eder. Yoksa mârifetullah (Allah'ı tanıma) için onu öğrenen metanet bulup, kendini tanımaya ve ondan Hakk'ı tanımaya nâil olur. O hâlde teşrih ilmini mütalâa edip, Sâni'nin kudretini müşâhede edersen, sana üç türlü fayda gelir.
Kitabın ilerleyen kısımlarında mârifetullahın en faydalı ilim olduğundan ve muhabbetullahın (Allah sevgisinin) en yüksek maksad olduğundan bahsdiyor. İşte böyle bir dünyagörüşü bilimi teşvik etmiş. Ulvî bir gayeye hizmet etmesi için bilimle uğraşılmış. Matematik de bilime hizmet ettiği için kitapta yerini bulmuş.

Memlekette "Matematiğin Aydınlık Dünyası" kitabına da bir göz attım. Yazar, bu kitabın 3. sayfasında bilim ve matematiğin batılı dünyagörüşü üzerine şekillenmiş bir gayesini yazmış:
Zaten insanların matematikle, bilimle uğraşmaya başlamasının temelinde yatan içgüdü de budur; doğa olaylarını önceden kestirebilmek, önceden anlayabilmek ve diğer insanlara karşı bir üstünlük sağlamak.
Bu kuru ve dünyevi gaye insanı tatmin etmiyor. Yazar, kitabının 5. sayfasında aynı üslupla devam ediyor ve diyor ki:
Matematik belli bir eğitimden sonra, kişinin kendi kendisine kazandıracağı bir eğitimden sonra, elde edilen bir yaşama sevincidir, bir insanlık macerasıdır. Ve bu eğitimi kişi kendi çabasıyla alır. Okullarda, üniversitelerde ancak matematiğin malzemesi verilir. Matematikçi olmak kişinin kendine kalmış bir serüvendir.
Batılı dünyagörüşü üzerine şekillenmiş bilimin de ikna edici belli bir amacı yok. Aldığım bir derste bilimle ilgili çok tanım ve açıklama okudum. Aslında batılı biliminin doğru düzgün tanımı bile yok, nerde kaldı belli bir amacı. Böyle muğlak bir şey için dirsek çürütmek mantıklı gelmediği için öğrenciler ne işimize yarayacak diye soruyorlar. Öğretmenler de cevap veremiyor.

Bilim ve matematik, yeni bir bilim anlayışı geliştirmek için öğretilmeli. Bir müslüman, İslam'da teşvik edilen, tefekküre ve mârifetullaha yönlendiren bir bilim inşası için bilimle uğraşmalı. Batıdan gelen bilim bizim olmuyor, bize uymuyor. Genelkurmay başkanlığının hazırlattığı "Türkçenin Doğru Kullanımı" (Türkçe'den sonra kesme işareti koymayı unutmuşlar.) kitabının başında şöyle diyor:
Yurdumuz göz önünde bulundurulduğunda çağın bilgilerini edinmek için tercüme çalışmaları çok büyük bir öneme sahiptir. Ancak bu tercümeler, biraz önce sözünü ettiğimiz sözcüklerin değer farklılıkları göz önüne alınmayarak yapıldığından, yani Batı dillerindeki bilgiler Türk dil sistemi içinde anlatılamadığından, edindiğimiz bilgiler eksik kalmakta, yurdumuzda gerçek bir bilim yaşamı kurulamamaktadır. Daha önce dilin düşüncenin evi olduğunu söyledik. Şimdi şunu ekleyelim: Düşünce ancak ve ancak ana dilin bahçesinde çiçek açar. Bilimi Türkçede kuramıyorsak, ona sahip değiliz demektir. Her dilin sözcükleri farklı bir dünya algılaması yansıtır. Bu algılama tarzı dil sisteminin bir parçasıdır.
Bu tespitleri ilginç buldum. Dilin sözcüklerinin dünyagörüşünü etkilediği ve bilimi kendi dilimiz üzerine kurmadıkça bu bilimin bizim olamayacağı meseleleri iyi düşünülmüş. "İslâm Medeniyetinde Bilgi ve Bilim" kitabının 90. sayfasında deniyor ki:
Diğer taraftan gerek Batı gerekse İslâm medeniyetinde evrim nazariyesini savunan bilim adamları olmasına rağmen, Batı bilim geleneğinde evrimcilik, ateizmn baş savunucusu durumuna gelmiştir. İslâm medeniyetinde bu nazariyeyi değişik açılardan savunan Câhiz ve Molla Sadrâ gibi düşünürler evrimi Allah'ın bir "ayeti" olarak görüyorlardı. Çünkü Kur'an kaynaklı olan dünyagörüşleri, zihinlerinde bu şekilde kurulmuştu.
Bilim, kişisel yorumlardan ayrı olamıyor. Mutlaka bir yerlerde bilim adamlarının görüşleri bilime karışıyor. Bilimsel bir olayı ifade ederken kullandığımız kelimeler bile bir çok manayı taşıyor. Tabiat ve kâinat kelimeleri bunun en önemli örneği. İslam medeniyetinde bilimsel sürecin tekrar etkin hale gelebilmesi için yeni bir dille anlatılıp hakettiği şekilde yorumlanan ve insanı mârifete yönlendiren bir bilim ve matematik anlayışının geliştirilmesi lazım. Batılı dünyagörüşü üzerine inşa edilmiş bilimden kendi dünyagörüşümüz üzerine yeniden inşa ettiğimiz bilime geçmeliyiz. Ancak o zaman net bir bilim öğrenme ve öğretme gayemiz olur.

Matematik de bilim gibi yorumlanmaya müsait. "Matematiğin Aydınlık Dünyası" kitabının 5. sayfasında diyor ki:
Tanrı sanki evreni yaratırken koyacağı kuralların yalnızca doğru çalışmasıyla yetinmemiş, bu kurallara insan ruhunu yüceltecek güzellikler katmak istemiş.
Hakikat parıltıları bu kadar farkediliyorsa matematikçilerimiz bize bunlardan bahsetmeli. Cebir hocamız derslerinde "matemetik öyle bir şey ki hakkında pek çok geyik muhabbeti yapabilirsiniz." diyordu. Bu muhabbet geyik muhabbeti olmasa da marifet ve tefekkür sohbetleri olsa. Mesele sadece liselerde dirsek çürütüp çürütmemek meselesi değilmiş. Bir medeniyetin inşasıymış.

Müftaal Tesbit

Bazı zamanlar olur ki problemin çözümünü dar bir yerde ararız. Takılıp kalırız oraya ve işin içinden çıkamayız. Veya bir başkası problemin kaynağı olduğunu düşündüğü şeyi bize söyler de biz ikna olmayız. Çünkü önerilen sebep bizim aklımıza yatmaz ve bunu vicdanımız kabul etmez. Problemin sebebinin ne olduğuna dair söylenenlerin yanlış tespit veya kasıtlı uydurma olduğunu düşünürüz de bunu ifade edemeyiz. Girdiğim bir matematik dersinde anlatılan nükteli bir fıkra bu durumu çok güzel anlatıyor.

Temel labaratuarda sinekler üzerine bir deney yapıyormuş. Bir sineği petri kabının üstüne koymuş ve uç demiş. Sinek uçmuş. Sineğin iki kanadını koparmış da uç demiş. Sinekte hiç bir hareket görmemiş ve not etmiş: "Sineğin iki kanadını koparınca sağır oluyor."

4 Nisan 2010 Pazar

Efrâdını Câmi Ağyârını Mâni

Birkaç gün önce girdiğim sınavda iki saatten kısa sürede dört makale yazmam istendi. Birinci makale Feynman'ın bilimin tanımı üzerine yapmış olduğu bir konuşmasıyla ilgiliydi. Bilimin "efrâdını câmi ağyârını mâni" bir tanımı yoktu ama var olan tanımlardan kendi içinde en tutarlı olanı Feynman'ın tanımıydı. Sınavda da bunu bu şekilde makalenin giriş bölümüne yazmak istemiştim birden. Ama "efrâdını câmi ağyârını mâni" terimini İngilizcede ne karşılar bilmiyordum. Boşverdim.

"Efrâdını câmi ağyârını mâni" terimini geçen hafta ilk defa "Anahatlarıyla Kur'an-ı Kerim" kitabında gördüm ve manasınıda o zaman öğrendim. Ne eksiği ne de fazlası olan terimlere "efrâdını câmi ağyârını mâni" terim deniyormuş. Kendine has bir mana taşıdığını ve bu mana olmadan çok şeyin havada kalacağını düşündüğüm için buraya not edeyim dedim. Bu terim eski fen bilgisi kitaplarında da geçiyormuş. Öztürkçeleşme hareketlerinin etkisiyle artık terkedilmiş olmalı. Terkedilmesi kötü olmuş. Terimler için böyle bir terim olmayınca her yöne çekilebilen ve net olmayan terimler ortaya çıkıyor.

Türkçe'de kullanılabilecek çok güzel bir ifade olduğunu düşünüyorum. Bir sürü "lâf ü güzaf"a son noktayı koyabilecek bir terim. "Sen laikliğin efrâdını câmi ağyârını mâni tanımını ver hele" diyebiliriz artık böyle kaypak terimlerle milleti oyalayanlara.

3 Nisan 2010 Cumartesi

Tatbikî Riyaziye

Üçücü stajıma iki arkadaşla beraber gitmiştim. Bir iki dakikalık rotarla derse girdik ve yoklamadan sonra hocanın birşeyler anlatmasına yetiştik. Öğrenciler yeni sınav olmuşlar. Öğretmen sınav sorularını cevaplayıp bazılarını çözmek istiyordu. Öğrencilerin talepleriyle bazı soruları çözdü. Bu soruların hepsini anlattığını söylüyor ve öğrencilere nasıl yapamadıklarını soruyordu. Öğrenciler derse katılıyor, ders içinde sorulan sorulara cevap veriyorlar ama sınavda çok farklı konulara biden muhatap olunca çok basit hatalar yapıyorlar. "Sınavda mantığıma bu çözüm uygun geldiydi" veya "yanlış anlamışım soruyu" tartışması yok, "böyle yapmıyor muyduk bu tür soruları" tartışması var.

Öğenciler gerçekten bu konuları ve bu konularla alakalı problemleri çözmek için gereken prosedürleri görmüş ama hâlâ problem biraz değişince veya "problem şu konuya ait" demeyince yapamıyor. Mantık yürütemiyor. Problemi çözmek için birşeyler yapıyor ama niye yaptığını bilmiyor. Öğretmenleri bir defasında bize öğrencilerinin hiç kafa yormadığını bunun tamamen öğrencilerin kabahati olduğu edasıyla söylemişti. Peki öğretmen masum mu?

Dersin ilk saati bu sınav sorularının çözümü ve taban aritmetiğinde dört işlem konusunun işlenmesiyle geçti. İkinci saatte modüler aritmetik konusuna geçildi. Öğretmen modüler aritmetiğin bazı özelliklerini anlatıp yazdırdıktan sonra problemler çözmeye başladı. Konunun arkaplanından hiç bahsetmedi.

Denklik sınıflarını hiç işin içine karıştırmadı konuya giriş yaparken. Sayıları yedinin denklik sınıflarına göre sınıflandırtıp aynı sınıfa (kümeye) düşen sayılara bizim denk dediğimizi açıklamadı. Peki öğrenciler ne yapsın şimdi? Prosedürleri hiçbir mantığa oturtmadan ezberleyip bambaşka bir konu içinde öğrendiklerini uygulayamayarak şaşırıp kalmaktan başka ne yapabilirler ki? Öğretmen de konuyu yetiştirmeye çalışırken işin matığıyla mı uğraşsın?

Öğrencinin biri dayanamayıp konunun ortasında "hocam bu konu ne işimize yarayacak?" dedi. Çünkü konunun çok alakasız durduğunu görüyordu. Sınıfta bir uğultu oluştu. Ön sıralarda bir öğrencinin birşeyler sıraladığını duydum ama gürültünün arasından sızıp bana ulaşan tek kelime "pratik zekaydı". Galiba "analitik zeka" demek istemişti. Matematik ne işe yarayacak sorularına verilen cevapları listeliyor olmalıydı. Lise öğrencisiyken bana da böyle öğretmişlerdi.

Sonra hoca bize döndü. "Boğaziçili abilerinize sorun bakalım nerde işe yarıyormuş." dedi. Hiç beklemiyordum birşeyler söylememin bekleneceğini. Ne diyebilirdim ki? Cevap vermedim. Diğer iki arkadaş da öyle. "Grup teorisinde önemli bir rol oynuyor modüler aritmetik." diyemedik. Grup teorisi ne işe yarayacaktı çünkü.

Birkaç hafta önce bir derste ödev olarak verilen bir makaleyi okumuştum. Başında benim hislerime tercüman olan açıklamalar vardı. Bunlardan bir tanesi uygulamalı bilim ile teorik bilim kavramlarıydı. Teorik bilimciler, "bilim için bilim" anlayışını savunuyorlarmış. Sadece bilmek için bilmek. Bir işe yaraması gerekmiyor. Bir yerlerde kulanım alanı bulabiliyor olması da bu anlayışı değiştirmiyor. Sadece bilimde değil matematikte de durum böyle. Uygulamalı matematiğin yanında teorik matematik var. Bulunan kalıpların (pattern) bir yerlerde işe yaraması gerekmiyor ama kullanım sahası bulunabilir.

Üç gün önce grup teorisinin devamı niteliğinde olan matematik dersimde hoca anlatacağı konuyu anlattıktan sonra "Bu konu üzerinde araştırma yapılıp endüstride kullanılabilecek şeyler geliştirilebilir. Dünyada böyle bir çalışma olup olmadığını bilmiyorum ama endüstride uygulanabilecek birşeyler bulusanız çok para kazanabilrsiniz." demişti. Birkaç gün önce bazı matematikçilerin çeşitli ebatlardaki daireleri büyük bir daireye en az boş alan kalacak şekilde nasıl yerleştirilebileceği hakkında algoritma geliştirildiğine dair bir haber görmüştüm. Zamanında ıvır zıvırın suyunu çıkaran bir ders olarak gördüğüm ayrık matematik (ne demekse) dersinde biz de buna benzer teorem ve algoritmaları görmüştük. Demek ki matematik konuları için bir yerlerde uygulama alanı bulunabiliyor.

Peki biz hep uygulama alanı mı aramalıyız? Yoksa sadece uygulama alanı bulabilen matematiği mi öğretmeliyiz? Bu tartışılması gereken ayrı bir konu. Daha sonra bunun hakkında birşeyler yazmayı düşünüyorum. Şu an için yapılması gerektiğini söylemek istediğim şey, öğrencilere somut problemler sunarak ve o problemler üzerinde düşündürterek öğrencilerin işlenen konunun arkaplanı hakkında fikir sahibi olmalarını sağlamak ve problem çözerken mantıklı düşünmelerine yardımcı olmak. Tam olarak nerelerde uygulanabileceğini bile öğretmeden, unutulması ve karıştırılması muhtemel, bir sürü prosedür ezberletip zihinleri bulandırmak yerine öğrencilerin çözüm yöntemlerini kendilerinin bulmaları, kalıpları (pattern) kendilerinin farketmeleri, verilen sayı ve kuralları manipüle edip sonuçlarını aynı anda görebilmeleri sağlanmalı. Ezberlemeleri gereken şeyler iyi belirlenmeli.

"Lisede anlatılan her konu için bir uygulama alanı bulup öğrencilerin konuları daha iyi anlayabilecekleri ve ders süresinde aktif olabilecekleri aktiviteler ve oyunlar geliştirilemez mi?" diye zaman zaman birilerine soruyordum. Fikir üretmek ilk başta zor gibi göründü ama gerçekten kolaymış. Mesela integral konusu için öğrencilere integralle ayakkabılarının taban alanı hesaplattırılıp sınıfın ayak büyüklüğünün istatistiği çıkarılabilir. Bu tür aktivitelerin detayları zor gibi görünüyor şimdi de. Ancak bir kere bir kişi tarafından üretilip senelerce birçok kişi tarafından kullanılıp geliştirilebilir. Ucundan başlansa ve ve her konu için bir hikaye bulunsa ve bir veritabanı oluşturulsa ne iyi olur. Her konu başında bir saat böyle aktivite yapılıp, geri kalan saatlerde konunun cebirsel özellikleri işlense koular daha iyi anlaşılır.

Örnek Uygulama:

Modüler aritmetik için aklıma şöyle bir uygulama geldi.

Sınıftaki masalar üç sıra halinde olduğu için üçün kalan sınıfları ve onlar üzerindeki işlemler hakkında bir uygulamadır. Sınıfın 30 kişilik olduğunu varsayalım. 30'a kadar olan sayıları birer kağıda yazalım. Her kağıtta bir numara var. Birinci sıradan bir masaya 1 yazılı kağıdı, ikinci sıradan bir masaya 2, üçüncü sıradan bir masaya 3,... verelim.

Öğretmen birinci sıradan ve ikinci sıradan birer öğrenci seçer ve numaralarını sorar. Bu iki numaranın toplamı üçüncü sıradaki bir masada çıkar. Birinci sıradan başka bir masa seçer. Durum yine aynı. Öğrencilerin merakını çeker sanıyorum. Bu uygulamayı geliştirip ilk sıradan iki masa seçip numaraları üzerinde işlem yaptırabilir.

Birinci sıradaki masaların numaralarının ortak özelliği sorulur. Tahtanın sol tarafına yukarıdan aşağıya doğru yazılır. Öğrenciler bunların üç ile bölümünden bir kalanını veren sayılar olduğunu farkeder. Aynı şeyi ikinci ve üçüncü sıra için de yapar. Bir sayıdaki sıralar üçer üçer artıyorsa aynı zamanda üçer üçer azalmalı deyip negatif sayılara da giriş yapılır. Tahtanın sol tarafındaki üç ile bölümünden bir kalanını veren sayıların başına -2, -5, gibi sayılar da eklenir. Bu üç kümeden seçilen iki sayının toplamının yine bunlardan birine ait olduğu da farkettirilir.

Artık elimizde negatif sayılar da varsa çıkarma işlemi de tanımlanabilir. -5 ile 5 sayılarının aynı sırada olmadığı farkettirilir. Bu sayı sıralarına denklik sınıfı adı verilir: 1'in denklik sınıfı, 2'nin denklik sınıfı, 0'ın denklik sınıfı. "Madem ki toplama işlemine sokulan sayılar kendi denklik sınıflarından bir sayı ile değiştirildiğinde sonuç yine aynı denklik sınıfında çıkıyor, o halde biz toplama yaparken denklik sınıflarının en küçük sayılarını kullanabiliriz." denilebilir. Hemen kafa karışıklığını önlemek için normal toplama işleminin sayıları topladığı ve sayı verdiği anlatılır. Bu yeni toplama işleminin iki kümeden seçilen sayının normal toplamının hangi kümede çıkacağını söyleyen bir işlem olduğu açıklanır. Bu uygulama daha da geliştirilebilir.

Bir saatlik bi derste böyle bir uygulama yapılsa geriye kalan saatte öğretmen kalan konuları çok daha kolay anlatabilir. Öğrenciler de öğretmen de gün boyu yazmanın verdiği sıkıntıdan kutulabilir ve dersler daha verimli geçebilir. Denemek lazım. Ya ne işimize yarayacak bunlar diye yine sorarlarsa...